钟文志的架构师之路

物理专业视角

在物理学中，向量（vector）是描述既有大小又有方向的物理量的数学工具，例如位移、速度、力、电场强度等。向量在经典力学、电磁学等领域中用于表示空间中的物理现象。

定义：向量是欧几里得空间中的有向线段，通常表示为 $\vec{A}$ 或 $A$ ，其大小（模）记为 $| \vec{A} |$ 。
物理意义：
- 位移： $\vec{r} = (x, y, z)$ 表示物体在三维空间中的位置变化。
- 力： $\vec{F} = m \vec{a}$ （牛顿第二定律）。
运算：
- 加法： $\vec{A} + \vec{B} = (A_{x} + B_{x}, A_{y} + B_{y}, A_{z} + B_{z})$ 。
- 点积（标量积）： $\vec{A} \cdot \vec{B} = | \vec{A} | | \vec{B} | \cos θ$ ，用于计算功、能量等。
- 叉积（矢量积）： $\vec{A} \times \vec{B}$ ，结果是一个垂直于 $\vec{A}$ 和 $\vec{B}$ 的向量（如角动量 $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ ）。

数学专业视角

在数学中，向量是向量空间（线性空间）中的元素，可以是有限维或无限维的抽象对象，其核心是满足线性运算规则（加法和数乘）。

定义：设 $V$ 是一个域 $F$ 上的向量空间，向量 $v \in V$ 是 $V$ 中的一个元素，满足：
- 加法封闭性： $u + v \in V$ 。
- 数乘封闭性： $α v \in V$ （ $α \in F$ ）。
常见表示：
- 有限维向量： $v = (v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}) \in R^{n}$ 。
- 函数空间中的向量：连续函数 $f (x)$ 可视为无限维向量。
运算：
- 线性组合： $α u + β v$ 。
- 内积（若定义）： $⟨ u, v ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i}$ 。
- 范数： $| | v | | = \sqrt{⟨ v, v ⟩}$ 。

计算机专业视角

在计算机科学中，向量通常指一维数组或列表，用于表示数值数据、特征或状态，是机器学习和图形学的基础数据结构。

定义：向量是有限维度的有序集合，例如 $v = [v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}]$ ，其中 $v_{i}$ 可以是整数、浮点数或其他数据类型。
应用场景：
- 机器学习：特征向量 $x \in R^{d}$ 表示数据点。
- 计算机图形学：3D向量 $(x, y, z)$ 表示顶点坐标或颜色（RGB）。
- 自然语言处理：词向量（Word2Vec）将单词映射为 $R^{300}$ 中的向量。
运算：
- 点积： $u \cdot v = \sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i}$ （用于相似度计算）。
- 哈达玛积（逐元素乘）： $u ⊙ v = [u_{1} v_{1}, u_{2} v_{2}, \dots, u_{n} v_{n}]$ 。
- 矩阵乘法：若向量视为 $n \times 1$ 矩阵，则 $A v$ 是线性变换。

总结

物理：向量是具象的、有方向的物理量。
数学：向量是抽象空间中的元素，满足线性规则。
计算机：向量是存储和操作数据的数值数组。

公式示例（统一格式）：

叉积： $\vec{A} \times \vec{B} = (A_{y} B_{z} - A_{z} B_{y}, A_{z} B_{x} - A_{x} B_{z}, A_{x} B_{y} - A_{y} B_{x})$ 。
范数： $| | v | |_{2} = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + \dots + v_{n}^{2}}$ 。