二次函数的交点式通常指的是二次函数与 $x$ 轴的交点，即求解方程 $( ax^2 + bx + c = 0 )$ 的根。交点式可以表示为：

$y = a(x - x_1)(x - x_2)$

其中 $( x_1 )$ 和 $( x_2 )$ 是二次方程的两个根。

求解交点

1. 求根公式：对于方程 $( ax^2 + bx + c = 0 )$，根可以通过求根公式得到：

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

2. 交点式的形式：
   • 如果 $( D = b^2 - 4ac > 0 )$，则有两个不同的实根 $( x_1 )$ 和 $( x_2 )$。
   • 如果 $( D = 0 )$，则有一个重根 $( x_1 = x_2 )$。
   • 如果 $( D < 0 )$，则没有实根，二次函数与 $x$ 轴没有交点。

交点式的特点

• 交点：交点的 x 坐标为 $( x_1 )$ 和 $( x_2 )$，对应的 y 坐标为 0。
• 开口方向：与顶点式相同，开口方向由 $( a )$ 的符号决定。

示例

假设有一个二次函数 $( y = 2x^2 - 4x + 2 )$，我们可以求出其交点：

1. 计算判别式：

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 16 - 16 = 0$

2. 计算根：

$x_1 = x_2 = \frac{4}{4} = 1$

3. 交点式为：

$y = 2(x - 1)(x - 1) = 2(x - 1)^2$

这表示该二次函数在 $( x = 1 )$ 处与 $x$ 轴相切。

一般式转换为交点式的作用

二次函数的交点式通常表示为：

$y = a(x - x_1)(x - x_2)$

其中 $( x_1 )$ 和 $( x_2 )$ 是二次函数与 x 轴的交点（即函数的根）。

一般式转换为交点式的作用：

1. 根的显式表示：交点式直接显示了二次函数的根 $( x_1 )$ 和 $( x_2 )$，便于分析函数的零点。

2. 图形理解：通过交点式，可以更直观地理解抛物线与 x 轴的交互关系，便于绘制图形。

3. 求解问题：在解决与根相关的问题（如求解方程、优化问题等）时，交点式提供了更直接的工具。

4. 因式分解：交点式便于进行因式分解，帮助简化计算和分析。

转换方法：

从一般式 $( y = ax^2 + bx + c )$ 转换为交点式，可以通过求解方程 $( ax^2 + bx + c = 0 )$ 找到根 $( x_1 )$ 和 $( x_2 )$，然后代入交点式。根的求解可以使用求根公式：

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

这样就可以得到交点式。