在数学中，整式（又常被称为多项式）是由变量（如x,y等）和常数（如数字5、-3等）通过加法、减法、乘法以及非负整数次幂运算组合而成的表达式。整式变量的指数必须是非负整数。，如何变量的指数是非负整数，则存在除法运算，根据定义不为整式。

$2$的负二次方可以表示为：

$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

因此，$2$ 的负二次方等于 $\frac{1}{4}$。

整式的组成：

• 常数项：不包含变量的部分，如 5、-3。
• 变量：如 ( x ), ( y )。
• 系数：变量前的数字，如在 $( 3x^2 )$ 中，3 是 $( x^2 )$ 的系数。
• 次数：变量的最高指数称为整式的次数。例如，$( 4x^3 + 2x^2 + x )$的次数是 3。

举例：

• $2x^2 + 5x - 3$ 是一个二次多项式，其中 x 是变量，2 和 5 是系数，-3 是常数项。
• $x^2 - 4x + 4$ 是另一个二次多项式。
• $3x^3 + 7x$ 是一个三次多项式。

整式可以进行加法、减法、乘法和幂运算，但进行除法时（除非除数也是整式的因子），结果可能不再是整式。例如，$\frac{x^2 + 1}{x}$ 不是整式，因为这里进行了变量的除法运算。

整式的因子是指可以整除该整式的另一个整式。换句话说，如果一个整式 $f(x)$ 可以被另一个整式 $g(x)$ 整除（即存在一个整式 $h(x)$，使得 $f(x) = g(x) \cdot h(x)$，那么 $g(x)$ 就被称为 $f(x)$ 的因子。

什么是单项式和多项式

在数学中，单项式和多项式是整式的两种基本形式，它们由变量和常数通过基本运算组合而成。这里是它们的具体定义和区别：

单项式（Monomial）

单项式是只包含一个项的整式。这个项可以是一个常数，一个变量，或者变量的乘积及其幂次的乘积。单项式的特点是：

• 只有一个项。
• 变量的指数是非负整数。
• 不包含加号或减号连接的其他项。

例子：

• $( 7 )$
• $( x^2 )$
• $( 3xyz )$
• $( -5x^3y^2 )$

多项式（Polynomial）

多项式由两个或更多单项式（称为项）通过加法或减法连接组成。多项式的特点是：

• 包含两个或更多项。
• 每个项（也是单项式）间可以通过加号或减号连接。
• 可以按照项的次数（最高幂次）来分类，如一次多项式（线性多项式），二次多项式（二次方程的一般形式）等。

例子：

• $( x^2 - 3x + 2 )$ （二次多项式）
• $( 4y - 7 )$（一次多项式）
• $( x^3 + 5x^2 - x + 8 )$（三次多项式）

区别：

• 单项式是最简单的整式，仅包含一个项。
• 多项式可能由多个单项式组合而成，通过加法或减法连接。

单项式和多项式都广泛应用于代数中，从基本的代数运算到解决复杂的代数方程和建模问题。它们是构建更复杂数学模型的基石。

整式的加减

合并同类项

合并同类项是代数中的一个基本操作，其目的是简化多项式表达式。同类项指的是那些变量部分相同的项，即它们具有相同的变量和相同的指数。合并同类项的过程包括将这些项的系数相加或相减。

如何合并同类项：

1. 识别同类项：找出所有变量和变量的指数相同的项。
2. 合并系数：对于每一组同类项，将它们的系数进行加法或减法运算。
3. 重写表达式：用合并后的系数和共同的变量部分重写每组同类项。

示例说明：

假设我们有以下多项式：

$3x^2 + 4x - 2x^2 + x + 6 - 5x$

合并过程：

1. 首先，找出所有同类项：

   • $(3x^2)$ 和 $(-2x^2)$
   • $(4x)$ 和 $(x)$ 和 $(-5x)$
   • 常数项 $(6)$

2. 接下来，合并每组同类项：

   • $(3x^2 - 2x^2 = x^2)$
   • $(4x + x - 5x = 0x)$（实际上这个组合结果是 $(0)$，可以省略）
   • $(6)$ （没有同类项，所以保持不变）

3. 重写多项式：

   • $(x^2 + 6)$

通过合并同类项，原始的多项式 $(3x^2 + 4x - 2x^2 + x + 6 - 5x)$ 简化为 $(x^2 + 6)$。

这种技术是解决代数问题中非常重要的一步，它有助于简化问题并使解决方案更清晰。

整式的乘法

整式的乘法是代数基础中非常重要的一部分，涉及多项式或单项式之间的乘法操作。理解整式的乘法对于解决更复杂的代数问题至关重要。下面是整式乘法的一些基本规则和例子。

基本规则

1. 单项式乘单项式：

   • 乘法包括系数相乘以及变量指数的相加。例如，$(3x^2)(4x^3) = 12x^{2+3} = 12x^5$。

2. 单项式乘多项式：

   • 每个多项式中的项都需要乘以单项式。例如，$3x(2x^2 - 5x + 3) = (3x)(2x^2) - (3x)(5x) + (3x)(3) = 6x^3 - 15x^2 + 9x$。

3. 多项式乘多项式（分配律的应用）：

   • 使用分配律或所谓的FOIL方法（首项First、外项Outer、内项Inner、末项Last）来相乘，适用于两个二项式的乘法。更长的多项式可以通过逐项相乘来处理。
   • 例如，$(x + 2)(x - 3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$。

示例解释

假设我们要乘以两个多项式：$(2x^2 - x + 3)$ 和 $(x - 4)$。我们可以逐项相乘：

$\begin{aligned}\left(2 x^2-x+3\right)(x-4) & =\left(2 x^2\right)(x)-\left(2 x^2\right)(4)+(-x)(x)-(-x)(4)+(3)(x)-(3)(4) \\ & =2 x^3-8 x^2-x^2+4 x+3 x-12 \\ & =2 x^3-9 x^2+7 x-12 .\end{aligned}$

这个过程展示了如何将每个项与另一个多项式中的每个项相乘，并最后将得到的结果合并同类项

整式的除法

整式的除法是处理代数表达式的另一个基础操作，它涉及将一个多项式除以另一个多项式或单项式。这个过程可以帮助简化表达式或求解方程。下面我将解释几种常见的整式除法方法。

多项式除法定理（Polynomial Division Theorem）主要用于将一个多项式 $f(x)$ 除以一个不为零的多项式 $d(x)$（其次数至少为1），它的基本形式是：

$f(x) = d(x) \cdot q(x) + r(x)$

其中：

• $f(x)$ 是被除多项式，
• $d(x)$ 是除式多项式，
• $q(x)$ 是商多项式，
• $r(x)$ 是余式多项式。

其中，余式 $r(x)$ 的次数必须小于 $d(x)$ 的次数，或者为零。

解释

• 多项式除法类似于整数除法的过程。整数除法中，除以一个整数可以得到商和余数，例如：

  17 \div 5 = 3 \text{ 余 } 2

  其中 $17 = 5 \cdot 3 + 2$，这与多项式除法类似，只不过我们处理的是带有未知数的多项式。

• 商 $q(x)$ 是除法的结果，余式 $r(x)$ 是不能再进一步被整除的部分。余式的次数必须严格小于除式的次数。

实例

假设我们要用 $x - 2$ 去除多项式 $x^2 + 3x + 5$，即：

$f(x) = x^2 + 3x + 5, \quad d(x) = x - 2$

通过多项式除法可以得到：

$f(x) = (x - 2) \cdot (x + 5) + 15$

其中，商 $q(x) = x + 5$，余式 $r(x) = 15$。

总结

多项式除法定理是对多项式进行除法运算的基本原理，通过这个定理，可以将一个多项式表示为除式、多项式商和余式的形式。这在代数中十分重要，尤其是在因式分解、根的计算等方面。

1. 单项式除以单项式

这是最简单的情况，涉及直接将系数相除和变量指数相减。例如：

$\frac{6x^3}{2x} = 3x^{3-1} = 3x^2$

2. 多项式除以单项式

在这种情况下，多项式的每个项都独立地除以单项式。例如：

$\frac{2x^3 - 4x^2 + 6x}{2x} = x^2 - 2x + 3$

3. 多项式除以多项式

多项式除法是将一个多项式（被除式）除以另一个多项式（除式），并得到商和余数的过程。以下是进行多项式除法的一般步骤：

步骤

1. 排列多项式：确保被除式和除式按降幂排列。
2. 确定首项：取被除式的首项与除式的首项相除，得到商的首项。
3. 乘法：将商的首项乘以整个除式，并将结果写在被除式下方。
4. 减法：用被除式减去上一步的结果，得到新的多项式。
5. 重复：将新的多项式作为新的被除式，重复步骤 2 至步骤 4，直到新的被除式的次数小于除式的次数为止。
6. 结果：最终的商是所有计算中得到的商的组合，而余数就是最后得到的新被除式。

示例

假设我们要计算 $(2x^3 + 3x^2 - x + 5) \div (x - 1)$。

1. 排列多项式：已按降幂排列。

2. 首项相除：

   • $2x^3 \div x = 2x^2$

3. 乘法：

   • $2x^2 \cdot (x - 1) = 2x^3 - 2x^2$

4. 减法：

   • $(2x^3 + 3x^2 - x + 5) - (2x^3 - 2x^2) = 5x^2 - x + 5$

5. 重复：

   • $5x^2 \div x = 5x$
   • $5x \cdot (x - 1) = 5x^2 - 5x$
   • $(5x^2 - x + 5) - (5x^2 - 5x) = 4x + 5$
   • $4x \div x = 4$
   • $4 \cdot (x - 1) = 4x - 4$
   • $(4x + 5) - (4x - 4) = 9$

6. 结果：

   • 商为 $2x^2 + 5x + 4$
   • 余数为 $9$

因此，最终结果可以表示为：

$(2x^3 + 3x^2 - x + 5) = (x - 1)(2x^2 + 5x + 4) + 9$

总结

多项式除法的结果可以用商和余数来表示，遵循上述步骤可以高效地完成多项式的除法运算。如果有具体的多项式需要计算，请提供，我可以帮助你进行详细的计算。

多项式长除法

题库

[例1] $(\left.x^2-3 x+2 x y+y^2-3 x-40\right)=(x+y+m)(x+y+n)$则 $m^2+n^2=()$

我们先从等式开始：

$x^2 - 3x + 2xy + y^2 - 3x - 40 = (x + y + m)(x + y + n)$

首先展开右边：

$(x + y + m)(x + y + n) = (x + y)^2 + (m + n)(x + y) + mn$

进一步展开：

$= x^2 + 2xy + y^2 + (m + n)(x + y) + mn$

这表示右边的展开式为：

$x^2 + 2xy + y^2 + (m + n)(x + y) + mn$

将左边的表达式整理为标准形式：

$x^2 + 2xy + y^2 - 3x - 40$

接下来将两边的式子进行对比。我们注意到在右边的展开式中，$x^2$、$2xy$和$y^2$已经匹配。

将$(m + n)(x + y)$与左边的线性项进行比较，线性项为$-3x$，所以我们有：

$m + n = -3$

常数项部分是$mn$，而左边的常数项是$-40$，所以我们有：

$mn = -40$

接下来我们解这组方程。设$m$和$n$为两个未知数：

$m + n = -3$

$mn = -40$

这是一个关于$m$和$n$的二次方程。利用求根公式可以解出：

$m, n = \frac{-(m + n) \pm \sqrt{(m + n)^2 - 4mn}}{2}$

将已知的$m + n = -3$和$mn = -40$代入：

$m, n = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-40)}}{2}$

$= \frac{3 \pm \sqrt{9 + 160}}{2}$

$= \frac{3 \pm \sqrt{169}}{2}$

$= \frac{3 \pm 13}{2}$

所以，$m = 8$，$n = -5$（或反过来，$m = -5$，$n = 8$）。

现在我们要求的是 $m^2 + n^2$：

$m^2 + n^2 = 8^2 + (-5)^2 = 64 + 25 = 89$

因此，$m^2 + n^2 = 89$。

【例2】已知 $\left(x^2+p x+8\right)\left(x^2-3 x+q\right)$ 的展开式中不含 $x^2$ ， $x^3$ 项则 $p, q$ 的值为 $( )$

我们要展开 $(x^2 + p x + 8)(x^2 - 3 x + q)$，并确保其中不含 $x^2$ 和 $x^3$ 项。

首先进行多项式的展开：

$(x^2 + p x + 8)(x^2 - 3 x + q) = x^2(x^2 - 3x + q) + px(x^2 - 3x + q) + 8(x^2 - 3x + q)$

逐项展开：

1. $x^2(x^2 - 3x + q) = x^4 - 3x^3 + qx^2$
2. $px(x^2 - 3x + q) = p x^3 - 3 p x^2 + p q x$
3. $8(x^2 - 3x + q) = 8x^2 - 24x + 8q$

将这些项相加：

$x^4 - 3x^3 + qx^2 + p x^3 - 3 p x^2 + p q x + 8x^2 - 24x + 8q$

现在将同类项合并：

• $x^4$ 项为：$x^4$
• $x^3$ 项为：$-3x^3 + p x^3 = (p - 3)x^3$
• $x^2$ 项为：$q x^2 - 3 p x^2 + 8 x^2 = (q - 3p + 8)x^2$
• $x$ 项为：$p q x - 24x = (p q - 24)x$
• 常数项为：$8q$

根据题目条件，展开式中不含 $x^2$ 和 $x^3$ 项，因此：

1. $p - 3 = 0$ （使得 $x^3$ 项为零）
2. $q - 3p + 8 = 0$ （使得 $x^2$ 项为零）

从第一个方程可以解得：

$p = 3$

将 $p = 3$ 代入第二个方程：

$q - 3(3) + 8 = 0$

$q - 9 + 8 = 0$

$q = 1$

因此，$p = 3$，$q = 1$。

最终答案为 $p = 3$，$q = 1$。

【例4】 若 $\left(x^4+x^3+a x^2+b x-1\right) \div\left(x^2+x+1\right)$,余式为$2x-5$，则$a+b=()$。

我们有如下多项式除法问题：多项式 $x^4 + x^3 + a x^2 + b x - 1$ 除以 $x^2 + x + 1$ 的余式为 $2x - 5$。根据多项式除法定理，余式的次数应小于除式的次数，因此，余式为 $2x - 5$，是一个一次多项式。

设商式为 $Q(x)$，则我们可以表示为：

$x^4 + x^3 + a x^2 + b x - 1 = (x^2 + x + 1) Q(x) + (2x - 5)$

接下来，我们将尝试进行多项式除法，首先假设商式 $Q(x)$ 的形式为二次多项式：

$Q(x) = x^2 + c x + d$

现在我们计算 $(x^2 + x + 1)(x^2 + c x + d)$，具体如下：

$(x^2 + x + 1)(x^2 + c x + d) = x^4 + c x^3 + d x^2 + x^3 + c x^2 + d x + x^2 + c x + d$

合并同类项后，得到：

$x^4 + (c+1) x^3 + (d + c + 1) x^2 + (d + c) x + d$

现在，将其与原多项式进行对比：

$x^4 + x^3 + a x^2 + b x - 1 = x^4 + (c+1) x^3 + (d + c + 1) x^2 + (d + c) x + d + (2x - 5)$

整理得到：

$x^4 + x^3 + a x^2 + b x - 1 = x^4 + (c+1) x^3 + (d + c + 1) x^2 + (d + c + 2) x + (d - 5)$

接下来，比较各项的系数，首先比较 $x^3$ 项：

$c + 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad c = 0$

然后比较 $x^2$ 项：

$d + c + 1 = a \quad \Rightarrow \quad d + 1 = a \quad \Rightarrow \quad a = d + 1$

再比较 $x$ 项：

$d + c + 2 = b \quad \Rightarrow \quad d + 2 = b \quad \Rightarrow \quad b = d + 2$

最后比较常数项：

$d - 5 = -1 \quad \Rightarrow \quad d = 4$

因此，$a = d + 1 = 4 + 1 = 5$，$b = d + 2 = 4 + 2 = 6$。

因此，$a + b = 5 + 6 = 11$。

最终答案为：11

已知 $M=\left(a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}\right)\left(a_2+a_3+\cdots+a_n\right)$ $N=\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)\left(a_2+a_3+\cdots+a_{n-1}\right)$ ， 则 $M>N$.

$\text { (1) } a_1>0 \text {. }$ (2) $a_1 a_n>0$.

在解代数方程时，如果方程包含复合函数或高次幂，可以通过引入新变量来简化方程。例如，考虑方程：

$x^4 + 6x^2 + 25 = 0$

这里，我们可以设 $u = x^2$。这样，方程就变成了：

$u^2 + 6u + 25 = 0$

这是一个二次方程，可以用二次公式求解。求解后，再将 $u = x^2$ 代回，求得 $x$ 的值。