什么是最大公因数

最大公因数，是指两个或多个整数共有的最大的因数。

举例来说，对于整数 $12$ 和 $18$ ，它们的共有因数有1、2、3、6，其中最大的是$6$，因此$6$是$12$和$18$的最大公因数。

最大公因数在数学中有广泛的应用，例如简化分数、解方程、化简根式等。计算最大公因数的常见方法有辗转相除法、质因数分解法和更相减损术等。

在数学表达中，可以用以下符号表示最大公因数：

1. 若给定两个整数 $a$ 和 $b$ ，它们的最大公因数通常表示为 $\text{GCD}(a, b)$ 或 $(a, b)$。
2. 若有多个整数 $a_1, a_2, ..., a_n$，它们的最大公因数通常表示为 $\text{GCD}(a_1, a_2, ..., a_n)$或 $(a_1, a_2, ..., a_n)$。

这些表示方法在数学书籍、论文和计算机编程中经常用到。

什么是最小公倍数

最小公倍数是指两个或多个整数共有的最小的倍数。

举例来说，对于整数 $6$ 和 $8$，它们的倍数分别为 6、12、18、24、30... 和 8、16、24、32、40...，可以看到它们共有的最小倍数是 $24$，因此 $24$ 是 $6$ 和 $8$ 的最小公倍数。

最小公倍数在数学中也有广泛的应用，例如比较分数大小、求解同周期的重复事件等。计算最小公倍数的方法通常有列举法、质因数分解法等。

在数学中，最小公倍数通常用符号 "LCM"（Least Common Multiple）表示。可以用以下方式表示最小公倍数：

1. 若给定两个整数 $a$ 和 $b$，它们的最小公倍数通常表示为 $\text{LCM}[a, b]$。
2. 若有多个整数 $a_1, a_2, ..., a_n$，它们的最小公倍数通常表示为 $\text{LCM}[a_1, a_2, ..., a_n]$。

这些表示方法在数学书籍、论文和计算机编程中经常用到。

求两个数的最大公因数和最小公倍数

求两个数的最大公因数和最小公倍数可以使用不同的方法，下面是两种常用的方法：

求最大公因数

* 一种常见的方法是使用辗转相除法（欧几里德算法）。该算法的步骤如下：
  1. 用较大的数除以较小的数，得到余数。
  2. 将较小的数与余数再次进行除法，直到余数为零。
  3. 此时，被除数即为最大公因数。
* 另一种方法是因式分解。将两个数分解成质因数的乘积，然后找出它们共有的质因数，并将这些质因数相乘得到最大公因数。

案例

假设我们要计算 $48$ 和 $18$ 的最大公因数。

步骤

1. 初始值：将较大的数作为被除数，较小的数作为除数。

   • 被除数：$48$
   • 除数：$18$

2. 进行除法运算：

   • 48 ÷ 18 = 2 余 12
   • 因此，我们可以写成：48 = 18 × 2 + 12

3. 更新数值：将除数和余数重新赋值。

   • 新的被除数：$18$
   • 新的除数：$12$

4. 重复步骤：

   • 18 ÷ 12 = 1 余 6
   • 18 = 12 × 1 + 6

5. 继续更新：

   • 新的被除数：$12$
   • 新的除数：$6$

6. 再次重复：

   • 12 ÷ 6 = 2 余 0
   • 12 = 6 × 2 + 0

7. 结束条件：当余数为 0 时，当前的除数即为最大公因数。

   • 这里，最大公因数 GCD(48, 18) = 6。

求最小公倍数

求两个数的最小公倍数（LCM）有几种方法，以下是其中的两种常见方法：

1. 质因数分解法：
   • 分解每个数为其质因数的乘积。
   • 取每个质因数的最大指数，然后将这些质因数相乘，得到的结果就是最小公倍数。

案例

对于数字 $12$ 和 $15$：

$12 = (2^2 \times 3^1)$

$15 = (3^1 \times 5^1)$

质因数：2、3、5

最高次幂：$(2^2)$、$(3^1)$、$(5^1)$

$LCM = (2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 60)$

2. 公式法：

• 一种方法是利用最大公因数。使用以下关系求得最小公倍数：

$[ \text{LCM}(a, b) = \frac{a \times b}{\text{GCD}(a, b)} ]$

案例

• $15$除以$12$，商是$1$，余数是$3$。
• $12$除以$3$，商是$4$，余数是$0$。
• 因此，最小公倍数是$60$。

$[ \text{LCM}(a, b) = \frac{12 \times 15}{\text{GCD}(3)} ]$

在这个例子中，两种方法都得到了相同的答案，即60。

总结

• 最大公因数是指两个或多个整数共有的最大的因数。
• 最小公倍数是指两个或多个整数共有的最小的倍数。
• 求最大公因数的办法有欧几里德算法和分解质因数乘积法。
• 求最小公倍数有公式法、质因数分解法、短除法。

题库

求（28，42）和[28，42]。

【分析】 我们可以通过计算$28$和$42$的最大公因数和最小公倍数来得出答案。

【详解】 首先，28＝2×2×7，而42＝2×3×7，所以$28$和$42$的最大公因数是2×7＝14。而最小公倍数是2×2×3×7＝84，因此，（28，42）＝14，[28，42]＝84。

50能被25整除，25能被5整除，所以50是25和5的（）?

【分析】 整除的定义为：若整数“a”除以大于0的整数“b”，商为整数，且余数为零，我们就说a能被b整除。 【详解】 因为50÷25＝2，所以50能被25整除；因为25÷5＝5，所以25能被5整除；所以50是25和5的公倍数。

若整数n既能被6整除，又能被8整除，则它还可以被下列哪一项整除

A.10 B.12 C.14 D.18 E.22

如果整数n既能被6整除，又能被8整除，那么n一定是6和8的公倍数。6和8的最小公倍数是24（因为6=2×3，8=2×2×2，所以最小公倍数是2×2×2×3=24）。因此，n至少能被$24$整除。在给出的选项中，12是24的因数，所以n也能被12整除。所以，答案是 $B.12$。

整数n是140的倍数

(1)n是10的倍数 (2)n是14的倍数

【分析】 题目要求判断两个条件是否充分地证明整数n是140的倍数。首先，理解条件(1)和(2)，它们分别指出n是10和14的倍数。然后，需分析这两个条件能否保证n同时是10和14的公倍数，即140的倍数。 【详解】 140可以分解为10和14的乘积，即140 = 10 * 14。因此，若n同时是10和14的倍数，则n必定是它们的最小公倍数140的倍数。 根据条件(1)，n是10的倍数，根据条件(2)，n是14的倍数。因此，若n同时满足条件(1)和条件(2)，则n同时为10和14的倍数，即n必定是140的倍数。 【点睛】 综上所述，当n满足条件(1)和条件(2)，即n既是10的倍数，又是14的倍数时，n一定是140的倍数。因此，两个条件联合起来是充分的。