要通过已知的几个点（坐标）来求解抛物线的方程 $y = ax^2 + bx + c$，可以利用这些点代入方程得到方程组，然后解方程组求出 $a$、$b$ 和 $c$。以下是具体的求解步骤和案例：

步骤

1. 代入已知点：将每个已知点的坐标 $(x, y)$ 代入 $y = ax^2 + bx + c$，得到若干个方程。
2. 求解方程组：使用这些方程组成的方程组来解出 $a$、$b$ 和 $c$。

案例

假设我们有三个已知点：$(1, 2)$、$(2, 3)$ 和 $(3, 6)$。我们可以按照如下步骤求解抛物线方程。

1. 代入已知点

将点 $(1, 2)$ 代入 $y = ax^2 + bx + c$，得到：

$2 = a(1)^2 + b(1) + c \quad \Rightarrow \quad a + b + c = 2 \quad \text{(1)}$

将点 $(2, 3)$ 代入 $y = ax^2 + bx + c$，得到：

$3 = a(2)^2 + b(2) + c \quad \Rightarrow \quad 4a + 2b + c = 3 \quad \text{(2)}$

将点 $(3, 6)$ 代入 $y = ax^2 + bx + c$，得到：

$6 = a(3)^2 + b(3) + c \quad \Rightarrow \quad 9a + 3b + c = 6 \quad \text{(3)}$

2. 求解方程组

我们得到以下方程组：

$\begin{cases} a + b + c = 2 \\ 4a + 2b + c = 3 \\ 9a + 3b + c = 6 \end{cases}$

使用矩阵法或代入法求解这个方程组。这里用矩阵法：

将方程组写成矩阵形式：

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}$

使用高斯消元法解这个线性方程组：

第一步，用第二行减去第一行的4倍：

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -3 \\ 9 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 6 \end{pmatrix}$

第二步，用第三行减去第一行的9倍：

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -3 \\ 0 & -6 & -8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ -12 \end{pmatrix}$

第三步，用第三行减去第二行的3倍：

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}$

通过回代求出 $c = 3$，将 $c$ 代入第二个方程 $-2b - 3 = -5$，解得 $b = -1$，将 $b$ 和 $c$ 代入第一个方程 $a - 1 + 3 = 2$，解得 $a = 0$。

因此，抛物线的方程为：

$y = 0x^2 - x + 3 \quad \Rightarrow \quad y = -x + 3$

结论

这个例子中，通过已知点 $(1, 2)$、$(2, 3)$ 和 $(3, 6)$，我们求得了抛物线的表达式为 $y = -x + 3$。