什么是因数

一个整数的因数是能够整除该整数而不产生余数的整数。换句话说，如果整数 $a$ 能够被整数 $b$ 整除，那么 $b$ 就是 $a$ 的因数。

举例来说，考虑整数 $12$。它的因数包括 $1, 2, 3, 4, 6$ 和 $12$，因为这些整数可以整除 $12$，而没有余数。因此，$1, 2, 3, 4, 6$ 和 $12$ 都是 $12$ 的因数。

注意，每个整数都至少有两个因数：$1$ 和它本身。如果一个整数除了 $1$ 和它本身之外没有其他的正因数，那么这个整数被称为质数。

什么是质因数？

质因数，是指大于 $1$ 的整数，其本身是质数。换句话说，如果一个数只有2个因数，即 $1$ 和它自身，而且它本身是质数，那么它就是质因数。例如：数字 $6$，它有因数1、2、3 和 $6$。但是只有 $2$ 和 $3$ 是质数。因此数字 $6$ 的质因数是 $2$ 和 $3$。

什么是分解质因数

分解质因数是将一个数分解为若干个质数相乘的形式。下面是分解质因数的一般步骤：

1. 确定数的范围：确定要分解质因数的数是正整数，并且不是质数（除了1和本身）。
2. 找到最小质因数：从最小的质数 $2$ 开始，依次尝试将待分解的数除以这些质数，直到能够整除为止。找到第一个能够整除的质数后，就得到了一个质因数。
3. 重复步骤2：将得到的质因数作为新的待分解数，继续重复步骤2，直到无法再分解为止。
4. 写出分解结果：将得到的所有质因数相乘，即可得到原始数的分解质因数的结果。

举例说明：

假设要分解质因数的数是 $60$：

1. $60$ 不是质数，所以可以继续分解。
2. 60 ÷ 2 = 30，这里 $2$ 是 $60$ 的一个质因数。
3. 30 ÷ 2 = 15，这里 $2$ 是 $30$ 的一个质因数，继续尝试下一个质数 $3$。
4. 15 ÷ 3 = 5，这里 $3$ 是 $15$ 的一个质因数，而 $5$ 是一个质数，不能再分解了。
5. 因此，60 = 2 × 2 × 3 × 5。

所以，$60$ 的质因数分解为 2 × 2 × 3 × 5。

分解质因数的应用场景

• 简化计算：在数学运算中，分解质因数可以简化计算。例如，当需要求解最大公约数（最大公因数）和最小公倍数时，分解质因数可以帮助我们快速找到解决方案。

• 加密算法：在密码学中，质因数分解被广泛用于一些加密算法，如RSA算法。RSA算法的安全性基于大质数分解的困难性，即将一个非常大的合数分解为其质因数的过程。

• 数据压缩：在数据压缩领域，质因数分解也有一些应用。例如，在压缩算法中，可以利用数的质因数分解来压缩数据，使其占用更少的空间。

• 找规律：在数学研究中，分解质因数有时可以帮助我们找到数学规律或者解决一些数论问题。

分解质因数短除法

短除法是一种快速分解质因数的方法，它适用于较小的数。下面是使用短除法进行分解质因数的步骤：

1. 选取最小的质数作为除数：通常选择最小的质数2作为第一个除数。
2. 将待分解的数除以选定的质数：用选定的质数除以待分解的数，如果能整除，则待分解的数可以被该质数整除，而该质数就是待分解数的一个质因数。
3. 重复步骤2直至无法整除：如果待分解的数能被选定的质数整除，则继续用同样的质数除以得到的商，直到无法整除为止。
4. 换下一个质数：当无法再用当前选定的质数整除时，选择下一个更大的质数，继续重复步骤2和步骤3。
5. 重复直到待分解的数变为1：继续重复上述步骤，直到待分解的数变为1为止。
6. 写出质因数分解结果：将得到的所有质因数乘在一起，即得到待分解数的质因数分解结果。

举例说明： 假设要分解质因数的数是60：

1. 用最小的质数2除以60，可以整除，所以2是60的一个质因数。

   • $(60 \div 2 = 30)$

2. 现在用2除以30，还可以整除，所以2也是30的一个质因数。

   • $(30 \div 2 = 15)$

3. 用3除以15，不可以整除，所以尝试下一个质数5。

   • $(15 \div 3 = 5)$

4. 5是质数，无法再分解。

5. 因此，60的质因数分解为 $(2 \times 2 \times 3 \times 5)$。

连续分解法

连续分解法（也称为“分解树”或“分解图”方法）是一种用于分解质因数的方法，特别适用于大数或复杂数的分解。

【分析】 其步骤通常包括：

1. 找到最小的因子，一般是$2$（偶数）或$3$（奇数）；
2. 将原数除以找到的因子，得到新的数；
3. 如果新数大于 $1$，重复上述步骤；
4. 直到所有因子都小于等于新数，此时新数和已经找到的所有因子构成了原数的分解。 【详解】 以下是一个具体案例： 要分解的数：$1365$。
5. 寻找最小的因子。因为 $1365$ 是奇数，所以最小的因子是 $3$ 。
6. 将 $1365$ 除以 $3$ 得到 $455$ 。
7. 再次寻找 $455$ 的最小因子，这次是 $5$ 。
8. 将 $455$ 除以 $5$ 得到 $91$ 。
9. 继续寻找 $91$ 的最小因子，这次是 $7$ 。
10. 将 $91$ 除以 $7$ 得到$13$ 。
11. 最后，$13$是质数，所以分解到此结束。

题库

1. 每一个合数都可以写成$k$ 个质数的乘积，在小于 $100$ 的合数中，$k$ 的最大值为（）。 2的6次方等于64。

   A:3 B:4 C:5 D：6 E：7

2. 已知三个质数的倒数的和为 $\frac{1879}{3495}$ ，则这三个质数的和为多少？

【分析】 我们可以通过质数的倒数来分析这个问题，一个质数的倒数必然是$\frac{1}{p}$，其中p是一个质数。假设质数为p，q，r，那么$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}$必须等于$\frac{1879}{3495}$。我们可以通过这种方式来分析和解决这个问题。

【详解】 解：设三个质数为p，q，r，那么$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}=\frac{1879}{3495}$。 我们可以将p，q，r分解为$3495$的因子：3495＝3×5×233＝15×233， 所以我们可以推断出p，q，r中的其中一个数必须是$15$或$233$。 如果其中一个数是15，那么另一个数必定是$233$，这与题目条件不符，所以p，q，r中的数应该是233，3，5。 因此，233+3+5＝241，所以这三个质数的和是$241$。

百宝袋

30以内的质数。

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

三个质数之积恰好等于它们和的5倍，则这三个质数之和为

【分析】 先根据三个质数之积等于它们和的 $5$ 倍，列出等式，求出其中必然包含质数 $5$，设另外两个质数分别是$x$、$y$，得出$5xy=5\left( x+y+5 \right)$，化简得 $xy=x+y+5$，讨论$x$、$y$的大小，求出x、y的值．

【详解】 解：设三个质数分别为$x$，$y$，$z$： 由题意得：$xyz=5\left( x+y+z \right)$ ∵$x$，$y$，$z$都是质数， ∴这三个质数中，必定有一个是$5$， 不妨设$x=5$， ∴$5yz=5\left( 5+y+z \right)$， $yz=5+y+z$， 当$y=2$时，$2z=5+2+z$， 解得：$z=7$， ∴$x+y+z=5+2+7=14$； 故答案为$14$

总结

• 分解质因数是将一个数分解为若干个质数相乘的形式。
• 分解质因数有短除法和连续分解法。