因式分解是代数中的一个重要技巧，用于将一个多项式转换成几个更简单多项式的乘积形式。这个过程有助于简化代数表达式、解方程和进行其他数学操作。下面是一些常用的因式分解方法：

1. 提公因式法

这是最基本的因式分解方法，适用于所有项都有公共因数的情况。例如：

$6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)$

2. 分组因式分解

当多项式的项可以分成几组，每组都能提取公因数时，可以使用这种方法。例如：

$ax + ay + bx + by = (a+b)(x+y)$

3. 平方差因式分解

这是一个特殊情况的因式分解，适用于形式为 $ (a^2 - b^2)$ 的表达式，它可以分解为：

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

4. 完全平方公式

如果一个二次多项式可以写成完全平方的形式，则可以因式分解为：

$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$

$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

5. 三项式的因式分解

对于一般的二次三项式 $(ax^2 + bx + c)$，如果能找到两个数 $m$ 和 $n$，使得 $mn = ac$ 且 $m+n = b$，则可以因式分解为：

$ax^2 + bx + c = (dx + e)(fx + g)$

其中 $d$ 和 $f$ 是 $a$ 的因数，而 $e$ 和 $g$ 是 $c$ 的因数。

6. 高阶多项式的因式分解

对于高阶多项式，可能需要结合上述方法或使用合成除法找到因式。如果多项式的根可以通过代数方法找到，那么可以使用根的信息来进行因式分解。

例如，如果已知 $(x = r)$ 是多项式 $(p(x))$ 的一个根，那么 $((x - r))$ 是 $(p(x))$ 的一个因式。

因式分解通常需要一定的练习才能熟练掌握，尤其是对于复杂的多项式。解决具体问题时，可能需要尝试不同的方法来找到最有效的因式分解方式。

因式分解的作用

因式分解是将一个多项式表达式分解成更简单的因式乘积的过程。它在数学中有广泛的应用，可以解决多种问题，包括但不限于：

1. 求解方程：通过因式分解，我们可以将一个复杂的多项式方程转化为一系列简单的线性方程或二次方程，从而更容易求解。例如，考虑方程 $( x^2 - 5x + 6 = 0 )$，通过因式分解为 $( (x - 2)(x - 3) = 0 )$，我们可以直接得到 $( x = 2 )$ 或 $( x = 3 )$。
2. 简化表达式：在代数表达式中，因式分解可以将复杂的表达式简化为更简单的形式，从而更容易进行计算和分析。例如，通过因式分解 $(x^2 - 4)$ 为 $( (x - 2)(x + 2) )$，我们可以更容易地理解表达式的性质，并进行进一步的操作。
3. 寻找多项式的根和因子：因式分解可以帮助我们找到多项式的根（也称为零点）以及多项式的因子。这对于理解多项式的性质和特征非常重要。
4. 解决实际问题：在应用问题中，通过因式分解可以将复杂的问题转化为更简单的形式，从而更容易理解和解决。例如，通过因式分解多项式来分析函数的性质，可以帮助我们优化生产过程、预测趋势等。

总的来说，因式分解是代数中的一种重要技巧，可以帮助我们解决各种数学问题，并更好地理解数学中的概念和原理。

题库

[2013年10月]已知$f(x,y)=x^2-y^2-x+y+1.$则

$f(x,y)=1.$

$(1)x=y.$

$(2)x+y=1.$

(2010年1月]设$a,b$为非负实数，则$a+b\leq\frac54$

$(1)ab\leq\frac{1}{16}$

$(2)a^{2}+b^{2}\leq1$

推论

完全平方公式推论：

$(x\pm\frac1x)^2=x^2+\frac1{x^2}\pm2$

$(x+\frac1x)^2-(x-\frac1x)^2=$