十字相乘

十字相乘法是一种用于因式分解二次多项式的技巧，特别适用于形式为$(ax^2 + bx + c)$ 的多项式，其中 a、b和c是系数，且 $(a \neq 1)$。这种方法通过寻找两个数，这两个数的乘积等于 $(ac)$、$(a)$与$(c)$的乘积），且它们的和等于 $(b)$（中间项的系数），来帮助我们将中间项分解成两项，从而使因式分解过程更加直观和简单。

步骤

以下是使用十字相乘法因式分解二次多项式的步骤：

1. 确定 (a)、(b)、和 (c) ：首先，识别出多项式 $(ax^2 + bx + c)$ 的系数 $(a)$、$(b)$ 和 $(c)$。
2. 计算 (ac) ：计算 $(a)$ 和 $(c)$ 的乘积。
3. 寻找因数对：找出两个数的对，使得这两对数的乘积等于 $(ac)$，且它们的和等于 $(b)$。
4. 分解中间项：使用找到的两个数将中间项 $(bx)$ 分解成两个部分。
5. 分组和因式分解：将四项式按照共同因子进行分组，并分别对每组进行因式分解。
6. 提取公共因子：如果操作正确，两组将会有一个共同的因式。提取这个公共因子，完成整个因式分解。

例子

让我们通过一个例子来说明这个过程：因式分解 $(6x^2 + 13x + 6)$。

1. 系数识别： $[ a = 6, \quad b = 13, \quad c = 6 ]$
2. 计算 (ac) ： $[ ac = 6 \times 6 = 36 ]$
3. 寻找因数对： 寻找乘积为 36，和为 13 的数对，我们找到了 9 和 4。因为 $(9 \times 4 = 36)$ 且 $(9 + 4 = 13)$
4. 分解中间项： $[ 6x^2 + 9x + 4x + 6 ]$
5. 分组和因式分解： $[ (6x^2 + 9x) + (4x + 6) ] [ 3x(2x + 3) + 2(2x + 3) ]$
6. 提取公共因子： $[ (3x + 2)(2x + 3) ]$

这样，我们就完成了 $(6x^2 + 13x + 6)$ 的因式分解。使用十字相乘法可以有效地简化因式分解过程，尤其是在处理更复杂的多项式时。

因式定理

因式定理是一个重要的代数定理，它提供了一个检查多项式是否可以被某个线性因式整除的方法。这个定理非常有用，特别是在因式分解多项式时。

线性因式是指以一次多项式为因式的多项式。通常表示为 $ax + b$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是常数，$x$ 是变量。

定理内容

因式定理指出：如果多项式 ($P(x)$) 除以 ($(x - a)$) 的余数为 0，则 $(x = a)$ 是多项式 ($P(x)$) 的一个根，或者说 ($(x - a)$) 是 ($P(x)$) 的一个因子。

如何使用因式定理

1. 选择一个数 ( a ) ：选择一个数 $a$，并代入多项式 $P(x)$ 中。
2. 计算 ( P(a) ) ：计算 $P(a)$ 的值。如果 $P(a) = 0$，则 $x = a$ 是 $P(x)$ 的一个根。
3. 因式分解：如果 $P(a) = 0$，则可以确定 $(x - a)$ 是 $P(x)$ 的一个因子。接下来可以使用多项式的除法或其他因式分解方法来进一步分解 $P(x)$。

例子

考虑多项式 $P(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2$。我们可以使用因式定理来检查 $x = 1$ 是否是它的根。

1. 代入 ( a = 1 ) ：

   $[ P(1) = 1^3 - 4 \times 1^2 + 5 \times 1 - 2 = 1 - 4 + 5 - 2 = 0 ]$

2. ( P(1) = 0 ) ： 由于 $P(1) = 0$，我们可以确定 $x = 1$ 是 $P(x)$ 的根，且 $(x - 1)$ 是 $P(x)$ 的一个因子。

3. 因式分解： 接下来，我们可以通过多项式除法（或使用合适的因式分解方法）找出 $P(x)$ 中 $(x - 1)$ 以外的因子。例如，进行多项式除法： $[ (x^3 - 4x^2 + 5x - 2) \div (x - 1) = x^2 - 3x + 2 ]$

这样，我们就成功使用因式定理来识别和分解了多项式 $P(x)$。因式定理是理解和应用多项式根与因式关系的基础，对于高级数学和工程问题中的多项式分析极为重要。

什么是根？

在数学中，根通常指的是方程的解，特别是对于多项式方程而言。对于一个多项式 $P(x)$，如果存在一个数 $a$，使得 $P(a) = 0$，那么我们称 $a$ 是多项式 $P(x)$ 的一个根。

举个例子，考虑多项式 $P(x) = x^2 - 4$。我们可以代入 $x = 2$ 和 $x = -2$ 来检查是否满足 $P(x) = 0$。如果满足，那么 $x = 2$ 和 $x = -2$ 就是多项式 $P(x)$ 的根。

根也可以是复数。例如，多项式 $Q(x) = x^2 + 1$ 在实数范围内没有根，但在复数范围内有两个根，即 $x = i$ 和 $x = -i$，其中 $i$ 是虚数单位。

根的概念在数学中的许多领域都很重要，包括代数、微积分、以及工程和物理学中的应用。

题库

(2010年1月)多项式$x^3+ax^2+bx-6$的两个一次因式是$x-1$和$x-2$,则其第三个一次因式为（）

(2012年1月) 若$x^3+x^2+ax+b$能被$x^2-3x+2$整除则().

$\begin{aligned}&A.a=4,b=4&&B.a=-4,b=-4\\&C.a=10,b=-8&&D.a=-10,b=-8\\&E.a=-2,b=0\end{aligned}$

(2010年10月)[ $ax^3-bx^2+23x-6$能被$(x-2)(x-3)$整除()

$\begin{aligned}&(1) a=3,b=-16.\\&(2) a=3,b=16.\end{aligned}$

(2009年10月) 二次三项式$x^2+x-6$是多项式$2x^4+x^3-ax^{2}+bx+a+b-1$的一个因式()

$\begin{aligned}&(1) a=16\\&(2) b=2.\end{aligned}$

[2009年1月]$2a^2-5a-2+\frac3{a^2+1}=-1$.

$(1)a$是方程$x^2-3x+1=0$的根 $(2)|a|=1.$