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什么是整除

写法除法a ba/b
情况一能整除b|a无余数可化为整数
情况二不能整除b不能a有余数只能是分数

整除是指一个数可以被另一个数整除,而不产生余数。换句话说,如果一个整数 aa 能够被另一个整数 bb 整除,那么就说 aa 能够被 bb 整除,记作 (a÷b) 或 $ (b∣a)。在这种情况下,a$ 是 bb 的倍数。

例如,如果 (a=10)(a = 10)(b=2)(b = 2),则 (a)(a) 能够被 (b)(b) 整除,因为 (10÷2=5)(10\div2 = 5),没有余数。因此,我们可以说 101022 的倍数。

另一个例子是 (15)(15)能够被 (3)(3) 整除,因为 (5÷3=5),也没有余数。

然而,如果一个数不能被另一个数整除,就说它不能被那个数整除,或者说余数不为零。例如,(7)(7) 不能被 (3)(3) 整除,因为 (7÷3)(7\div3) 会产生余数 (1)(1)

倍数和因数

什么是倍数

一个整数 aa 是另一个整数 bb 的倍数,意味着当 aabb 整除时,结果是一个整数而没有余数。换句话说,存在一个整数 qq,使得 (a=b×q)( a = b \times q)

举例来说,如果(a=12)(a = 12)(b=3)(b = 3),那么 aabb 的倍数,因为 (12÷3=4)(12 \div 3 = 4),没有余数。因此,我们说 121233 的倍数。

同样,如果 (c=15)( c = -15 )(d=5)( d = 5 ),则 cc 也是 dd 的倍数,因为 (15÷5=3)(-15 \div 5 = -3),同样没有余数。

在数学中,倍数的概念经常用于讨论整数之间的关系,例如在约数、公倍数等方面。

什么是因数

一个整数的因数是能够整除该整数而不产生余数的整数。换句话说,如果整数 aa 能够被整数 bb 整除,那么 bb 就是 aa 的因数。

举例来说,考虑整数 1212。它的因数包括 (1,2,3,4,6)( 1, 2, 3, 4, 6)1212,因为这些整数可以整除 $ 12,而没有余数。因此,(1, 2, 3, 4, 6)$ 和 1212 都是 1212 的因数。

注意,每个整数都至少有两个因数:11 和它本身如果一个整数除了 11 和它本身之外没有其他的正因数,那么这个整数被称为质数

什么是商?

在数学中,“商”通常指的是除法运算中的结果,即被除数除以除数所得的值。例如,在 10 ÷ 2 中,商为 55

判断一个数是否能够被另一个数整除

如何判断一个数是否能够被另一个数整除的方法

整除的尾数法(重要)

整除的尾数法是一种判断一个数能否被另一个数整除的简便方法。这个方法的基本原理是,如果一个数能被另一个数整除,那么它们的个位数字相同或者倍数关系特殊。以下是整除的尾数法的一些常见规则:

  1. 如果一个数的个位是(0、2、4、6、8),那么它能被 22 整除。

  2. 如果一个数的各个位数之和能被 33 整除,那么它能被 33 整除。 例如,假设要判断数字 567567 是否能被 33 整除:

    1. 556677 相加:5+6+7=185 + 6 + 7 = 18
    2. 1818 能被 33 整除,因此 567567 能被 33 整除。

    这种方法适用于判断数字能否被 33 整除,但不适用于其他数的整除性判断。

  3. 一个整数 NN 能够被 44 整除的条件是 NN 的末尾两位组成的整数能被 44 整除。

  4. 如果一个数的个位数字是 00 或者 55 ,那么它能被 55 整除。

  5. 判断一个数字是否能被 77 整除。一个自然数,去掉它的末位数字之后,再减去末位数字的 22 倍,如果所得的差能被 77 整除,这个自然数就能被 77 整除。例如:判断 1594615946 能否被 77 整除。去掉 1594615946 的末位数字 6615941594,再减去末位数字 6622121215821582 。继续下去,去掉 15821582 的末位数字 22 倍得 158158,再减去末位数字 222244154154。再继续下去,去掉 154154 的末位数字 441515,再减去末位数字 4422887777 能被 77 整除,所以 1594615946 能被77整除。

  6. 如果一个数的个位数字是 00 ,那么它能被 1010 整除。

  7. 如果一个数的个位数字是 00 或者偶数,并且它的各个位数之和能被 99 整除,那么它能被 99 整除。

这些规则是判断整除性的一些基本方法,它们可以帮助我们快速判断一个数是否能被另一个数整除,但并不适用于所有情况。在实际计算中,还需要结合其他方法和规则来进行判断。

正负性质:乘除法

负负得正。

总结

  • 一个整数的因数是能够整除该整数而不产生余数的整数
  • 商是指除法运算中的结果。
  • 判断整除性的一些基本方法,它们可以帮助我们快速判断一个数是否能被另一个数整除,但并不适用于所有情况。在实际计算中,还需要结合其他方法和规则来进行判断。