在数学中，组合数指的是从一组对象中选择若干个对象，而不考虑它们的顺序的方式的数量。具体来说，组合数表示的是从$ n 个不同的对象中选择 r 个对象的方式的数量。组合数通常用符号 ( C(n,r) ) 或 ( \binom{n}{r} ) 表示，其中 n 表示总的对象数，r $表示选取的对象数。

组合数的计算公式为：

$[ C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} ]$

其中，$( n! )$ 表示 n 的阶乘，$( r! ) 表示 r 的阶乘，( (n-r)! ) 表示 n 减去 r 的阶乘。这个公式可以理解为，首先从 n 个对象中选择 r 个对象，然后由于不考虑顺序，需要除以 r $个对象的排列数 $( r! )$。

组合数的性质

组合数具有许多有趣的性质，其中一些包括：

1. 对称性：组合数具有对称性，即 $( C(n,r) = C(n,n-r) )$。这意味着，从$ n 个对象中选择 r 个对象的方式的数量等于从 n 个对象中选择剩下的 n-r $个对象的方式的数量。
2. 递推性质：组合数可以通过递推关系式进行计算。一个常见的递推关系式是杨辉三角形的性质：$( C(n,r) = C(n-1,r) + C(n-1,r-1) )$。这个关系式表示，从 n 个对象中选择 r 个对象的方式的数量等于从 n-1 个对象中选择 r 个对象的方式的数量加上从 n-1 个对象中选择 r-1 个对象的方式的数量。
3. 组合数的乘法：组合数的乘法规则指出，如果 A 和 B 是两个不相交的集合，且 A 中有 m 个元素，B 中有 n 个元素，则 A 和 B 的并集的大小为 $( C(m+n, m) )$。这个性质在组合数的问题中经常被使用。
4. 组合数的上升性：对于固定的 n，随着 r 的增加，$( C(n,r) )$ 也随之增加。换句话说，从 n 个对象中选择的数量随着选择的对象数的增加而增加。

这些性质使得组合数在组合数学和概率论中具有广泛的应用。