根据直线上的两点求直线的方程

为了求出线性方程 $y = kx + b$ 中的斜率 $k$ 和截距 $b$，我们需要已知的两点的坐标。假设这两点为 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$。

步骤：

1. 计算斜率k：

   $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

2. 代入已知点求截距b： 使用其中一个已知点，例如 $(x_1, y_1)$，代入方程：

   $y_1 = kx_1 + b$

   变形得到：

   $b = y_1 - kx_1$

示例：

假设已知点为 $(1, 2)$ 和 $(3, 4)$。

1. 计算k：

   $k = \frac{4 - 2}{3 - 1} = \frac{2}{2} = 1$

2. 计算b： 代入点 $(1, 2)$：

   $b = 2 - 1 \cdot 1 = 1$

最终结果：

因此，方程为：

y = 1x + 1 \quad \text{或简写为} \quad y = x + 1

求直线和抛物线的交点个数

要找直线和抛物线的交点个数，我们需要将直线方程和抛物线方程结合起来。假设直线方程为 $y = kx + b$，抛物线方程为 $y = ax^2 + bx + c$。

步骤：

1. 设定方程： 将直线方程代入抛物线方程：

   $kx + b = ax^2 + bx + c$

2. 整理方程： 将所有项移到一边，得到一个二次方程：

   $ax^2 + (b - k)x + (c - b) = 0$

3. 判别式： 对于二次方程 $Ax^2 + Bx + C = 0$，其交点个数由判别式 $D = B^2 - 4AC$ 决定：

   • 如果 $D > 0$，则有两个不同的交点。
   • 如果 $D = 0$，则有一个交点（切点）。
   • 如果 $D < 0$，则没有交点。

示例：

假设直线为 $y = 2x + 3$ 和抛物线为 $y = x^2 - 4$。

1. 代入方程：

   $2x + 3 = x^2 - 4$

2. 整理方程：

   $x^2 - 2x - 7 = 0$

3. 计算判别式：

   $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 4 + 28 = 32$

   由于 $D > 0$，所以直线和抛物线有两个交点。